Matematiğin Güzelliği ve Sayısal Bilmeceler

bence sonsuzdur ve sonsuz bir sayidir cunku sonsuz islemlerde de kullanilabilir. Ama bu sayi tanimsizdir, tipki 0 gibi. 0 elma = 0 armut

[pante]

0/0 = tanımsızdır.
Hatta 0/0 sayı bile değildir. Değeri yoktur.
Sonsuzla ifade edilemez. Örneğin;
0/0 > 1.000.000 denilemez.
Dolayısıyla;
0/0 > 1111 de olamaz, 11 üzeri 11 de.

İspat:

0/0 = 1111 olduğunu kabul edelim.
İçler dışlar çarpımı yaparsak;
1111 x 0 = 0 *olacaktır.

İsterseniz trilyonlarca 1'i yanyana getirin sonuç yine sıfıra eşitlenecektir.

Bu konuya katilmadigim gibi benim gibi dusunen matematikcilerde mevcut. Sonsuz sayisi fonksiyonlarda siklikla kullanilir, hatta -sonsuz ve +sonsuz olarak.Sonsuz sayidir, icler dislar carpimi yapmakta fayda etmez. Ayni durum 0 icinde gecerli, o zamanda 0 yerine tanimsiz diyelim. 5/5 = 1 35435/35435 = 1 0/0 = 1 olmalidir. 0 kadar sayi ise, sonsuzda o kadar sayidir.

[zelzeleci]

Dört tane "1" kullanılarak yazılan en büyük sayı( faktöriyel hesaba katılmazsa) '11 üzeri 11' dir.
Sevgili respendial, şöyle desen bir nebze kabul edilebilirdi. (1+1)/(1-1) ki bu da sonsuz değil, tanımsızdır. Fakat 0/0 belirsizlik ifade eder.

[zelzeleci]

Pek matematikle alakası yok ama güzel bir soru:

* *Eski çağlarda yaşayan bir filozof,devamlı gerçekleri söylediği için kralı kızdırır ve kral filozofu ölüm cezasına çarptırır. Kral, filozof ölmeden önce onun zekasıyla alay etmek için ona şu teklifi yapar:
"Ölmeden önce son cümleni söyle. Bu cümlen doğru çıkarsa başın kesilecek, yalan çıkarsa asılacaksın."
Filozof *ne söyler ve her iki ölümden de kurtulur?

respendial";p=&quot´isimli üyeden Alıntı

Bu konuya katilmadigim gibi benim gibi dusunen matematikcilerde mevcut. Sonsuz sayisi fonksiyonlarda siklikla kullanilir, hatta -sonsuz ve +sonsuz olarak.Sonsuz sayidir, icler dislar carpimi yapmakta fayda etmez. Ayni durum 0 icinde gecerli, o zamanda 0 yerine tanimsiz diyelim. 5/5 = 1 35435/35435 = 1 0/0 = 1 olmalidir. 0 kadar sayi ise, sonsuzda o kadar sayidir.

Sonsuz bir sayı değildir elbette.

Bu konu hakkında sözü Ali Nesin e bırakıyorum.

-----

Matematik ve Sonsuz

Gerek konuşma vermeye gittiğim okullarda, gerek bana gelen okur mektuplarında, öğrenci ve öğretmenlerin matematikteki sonsuzluk kavramını pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örneğin, *birçok kişi,
• Sonsuz eksi sonsuz,
• Sonsuz bölü sonsuz
gibi işlemlerin yapılabileceği sanıyor. Kimisi de “sonsuz eksi 1”in bir sayı olduğunu sanıyor, yani sonsuzdan hemen önce bir sayı olduğunu sanıyor.
Bu yazıda, matematikte kullanılan sonsuzluk kavramına biraz açıklık getirmek istiyorum.
“Sonsuz” dendiğinde, genellikle, çok uzakta, taa ötede, ulaşılamayacak bir yer düşünülür. Genel olarak, “sonsuz” sözcüğü bir yer adıymış gibi kullanılır. Bursa gibi, Balıkesir gibi, Fransa ya da Amerika gibi... Bursa’yla Sonsuz arasındaki tek ayrım, Sonsuz’a hiç ulaşılamamasıdır.
Kimi zaman da, “sonsuz” dendiğinde çok büyük bir miktar akla gelir, sayılamayacak kerte büyük bir miktar... Bu ikinci anlam, “sonsuz”un matematiksel anlamına daha yakındır.
Günlük yaşamda kullanılan anlamda bir “sonsuz”un gerçekte (doğada, evrende, uzayda...) olup olmadığı ayrı bir tartışma konusudur. Belki de bu anlamda “sonsuz”, imgelemin bir ürünüdür ve doğada yoktur. Ama bizim konumuz, sonsuzun varlığı ya da yokluğu değil, tanımı. Biraz daha açayım: “Sonsuz”un ne demek olduğunu tanımlamak başkadır, “sonsuz”un var olduğunu ya da olmadığını kanıtlamak başka. Yani, kavramın tanımıyla varlığı bambaşka sorulardır.
Ben, bu yazıda daha çok “sonsuz”un matematiksel tanımıyla ilgileneceğim. Konumuz felsefe değil. Yazının sonunda, matematikte sonsuzun varlığı konusuna şöyle bir değineceğim.
Yukarda, “sonsuz” sözcüğüne günlük yaşamda verdiğimiz anlamdan kısaca sözettim. Matematikte “sonsuz”un bambaşka bir anlamı vardır. Günlük yaşamda kullanılan “sonsuz”un tam ne demek olduğunu pek iyi bilmiyorsak da, matematikte “sonsuz” sözcüğünün kesin bir anlamı vardır.
Popüler matematik yazılarımın birçoğunda, günlük yaşamda kullanılan “sonsuz” kavramının bu belirsizliğinden yararlanıp çatışkılar (paradokslar) sundum okura. Bu çatışkılar bugün artık bir çatışkı değilse de, pek yakın bir zamana dek çatışkıydılar. Çünkü matematiğin “sonsuzluk” kavramı bir yüzyıl öncesine değin pek açık seçik bilinmiyordu. “Sonsuz” konusunda büyük bir kargaşa vardı. Kerli felli adamlar “sonsuz” kavramı üzerinde birbirleriyle anlaşamıyorlar, bu ayrılıktan dolayı birbirlerine küsüyorlardı. Kümeler kuramının gelişmesiyle birlikte (Georg Cantor sayesinde), matematikte “sonsuz”un ne anlama gelmesi gerektiği anlaşıldı.
Matematikteki “sonsuz” kavramına açıklık getirilmesinin püf noktası şudur: “Sonlu”nun ne demek olduğunu anlarsak, “sonsuz”un da ne demek olduğunu anlarız, çünkü “sonsuz”, “sonlu”nun karşıtıdır, sonlu olmayana sonsuz deriz .

Matematikte “sonsuz” bir nitemdir (sıfattır), bir ad değildir. Nasıl “sonlu” bir nitemse (sıfatsa), matematikte kullanılan “sonsuz” da bir nitemdir. Sonsuz, sonlunun karşıtıdır. Matematikte sonlu olmayana sonsuz denir.
Adına “sonsuz” denilen matematiksel bir nesne yoktur. Ama sonsuz matematiksel nesneler vardır.
Nasıl “sarı”, “yeşil”, “uzun”, “sıcak” birer nitemse, matematikteki “sonsuz” sözcüğü de bir nitemdir.
Matematikte, adı “sonlu” olan bir nesne olmadığı gibi, “sonsuz” diye de bir nesne yoktur.
Yineliyorum: Matematikte, “sonlu” ve “sonsuz” sözcükleri birer nitemdirler. Örneğin, “sonlu sayı” terimindeki “sonlu” sözcüğü “sayı” sözcüğünü niteler. Bunun gibi, “sonsuz sayı” terimindeki “sonsuz” sözcüğü “sayı”yı niteler. (Matematik bölümünde okumamış bir okurun sonsuz sayı kavramını, hatta sonlu sayı kavramını da, bildiğini sanmıyorum.)
Matematikte 5 bir nesnedir. 1 de bir nesnedir. Dolayısıyla 5’ten 1’i çıkarabiliriz ve 4 nesnesini buluruz.
Ama “sonsuz”, bir nesne olmadığından, matematikte sonsuz – 1 diye bir nesne yoktur ve sonsuz – 1’in yazılmaması gerekir. Bir nitemden bir nesne çıkaramayız.
Bu kavram karışıklığının suçlusu öğrenciler değil, elbette... Öğrenci hiçbir zaman suçlu olamaz. Lise öğrencilerine, bugünkü eğitim sistemimizde, “sonsuz”un tam matematiksel anlamı anlatılamaz. Bugünkü eğitim sistemimizde, din bilgisi gibi, savunma bilgisi gibi, trafik bilgisi gibi, ticaret gibi çok daha yararlı (!) ve sığ dersler okutulmaktadır. Öğrenciler haftada 4 saat matematik görürlerse ne âlâ!
Eğitim sistemimizin olduğu kadar biz matematikçilerin de suçu var bu kavram karışıklığında. Matematikçiler, “sonsuz”u çoğu kez bir ad gibi kullanırlar. Örneğin, sanki sonsuz bir yer adıymış gibi, “n sonsuza gittiğinde” derler. Hatta görmüşsünüzdür, limn sonsuz sonsuz yazarlar. Bu tümcecikte, “sonsuz” sanki bir yer adıymış gibi kullanılmış. Yanlış! Matematikte “sonsuz” diye bir yer yoktur.
Asıl suçlu sonsuz simgesi. Ortaöğretimde, matematiksel simgeler genellikle nesneler için kullanılır. Boşküme bir nesnedir ve simgesi 0‘dir örneğin. Oysa sonsuz simgesi, bir nesnenin simgesi değildir.
Bu yüzden “n sonsuza gittiğinde” dememek gerekir. Onun yerine, “n durmadan büyüdüğunde, yani her tamsayıyı bir süre sonra aştığında” demek daha doğru olur.
Matematikçiler,
Sonsuz eksi sonsuz,
Sonsuz bölü sonsuz,
demez ve yazmazlar. Yazdıklarında da bunun ne demek olduğunu açıklamak zorundadır. Ama kimi zaman, matematikçi,
sonsuz + 1 = sonsuz
sonsuz – 1 = sonsuz
sonsuz + sonsuz = sonsuz
sonsuz /2 =sonsuz

yazabilir. Burada, matematikçinin söylemek istediği,
• Sonsuz artı 1, sonsuza eşittir
• Sonsuz eksi 1, sonsuza eşittir
• Sonsuz artı sonsuz, sonsuza eşittir
• Sonsuz bölü 2, sonsuza eşittir
• İki kere sonsuz, sonsuza eşittir
değildir . Matematikçi sırasıyla şunları söylemek istiyordur:

• Durmadan büyüyen bir değişkenden 1 çıkarırsak, elde ettiğimiz değişken de durmadan büyür,
• Durmadan büyüyen bir değişkene 1 eklersek, elde ettiğimiz değişken de durmadan büyür,
• İki değişken durmadan büyüyorsa, o değişkenlerin toplamı da durmadan büyür,
• Durmadan büyüyen bir değişkeni ikiye bölersek, gene durmadan büyüyen bir değişken elde ederiz,
• Durmadan büyüyen bir değişkeni ikiyle çarparsak, gene durmadan büyüyen bir değişken elde ederiz.
Ta eski Yunanlılardan beri, matematikçiler ve filozoflar “sonsuz” ve “sonsuzluk” üzerine kafa yormuşlardır. Geçen yüzyılda, matematiğin sonsuzluk kavramını Alman matematikçi Georg Cantor biçimselleştirdi. Cantor’a göre sonsuz bir sıfattır. O gün bu gün, matematikçiler “sonsuz”u ad olarak değil, sıfat olarak kullanırlar.
Matematikte sonsuz bir nesnenin *varlığı konusuna gelince ...
Matematikte sonsuz bir nesnenin varlığı (böyle bir nesnenin varlığını kabul eden bir belit/aksiyom olmadan) kanıtlanamaz. Öte yandan matematikçiler “sonsuz” nesnelerden sözedebilmek isterler. Matematikçi sonlu nesnelerle baktığında, kimi zaman sonsuzu görür gibi olur, yani “sonsuz,” sonlunun arasından kendini gösterir, kendini belli eder. Dolayısıyla matematikçi sonsuz nesnelerin varlığını kanıtlayamasa da, sonsuz nesnelerden sözedebilmek ister. Bir örnek vereyim.
0, 1, 2, 3, 4 gibi doğal sayılar sonlu matematiksel nesnelerdir (yani kümelerdir.) Peki, ya bu doğal sayılardan oluşan nesne? Yani
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}
nesnesi? Bu nesnenin sonsuz olduğunu (yani sonsuz tane öğe içerdiğini) biliyoruz. Biliyoruz ama, matematikte böyle bir nesne var mıdır? Yani bu nesne, matematikte sözünü edebileceğimiz bir küme midir ?
Bu nesnenin bir küme olduğu “sonlu matematikte ” kanıtlanamaz.
Madem varlığını kanıtlayamıyoruz ama öyle bir nesnenin bir küme olmasını istiyoruz, biz de matematikte böyle bir kümenin olduğunu varsayarız, yani bu nesneyi küme yapacak bir beliti (aksiyomu) matematiğe sokarız... Böylece, matematikte sonsuz bir küme belirir... Daha önce yoktu, bir belitle var ettik!
Ve bu beliti kullanarak matematikte sonsuz bir nesnenin varlığını kanıtlamış oluruz.
Doğada sonsuz bir nesnenin olup olmadığı tartışmasını okurlara ve filozoflara bırakıyorum. Ben, bu konudaki düşüncelerimi, Matematik ve Doğa adlı kitabımın aynı başlıklı yazısında açıklamıştım.

[pante]

Eski çağlarda yaşayan bir filozof,devamlı gerçekleri söylediği için kralı kızdırır ve kral filozofu ölüm cezasına çarptırır. Kral, filozof ölmeden önce onun zekasıyla alay etmek için ona şu teklifi yapar:
"Ölmeden önce son cümleni söyle. Bu cümlen doğru çıkarsa başın kesilecek, yalan çıkarsa asılacaksın."
Filozof *ne söyler ve her iki ölümden de kurtulur?

Bu soruyu daha önceden biliyordum.
Bekledim, başka bir arkadaş bulsun diye ama cevap gelmediği için yanıtlıyorum.
Tam yanıtı olmayabilir ama ileri tarihe 15-20 yıl sonrasına ait bir kehanette bulunmuş olabilir.
Şöyle ki;

"15 yıl sonra ülkemiz işgal edilecek." gibi. Ya da;
"20 yıl sonra öleceksiniz" gibi.

Ama başlığımız matematik üzerine. Sorular da sayısal olmalı.

[DreiMalAli]

Çooook eskilerde....
Çıkmak istediğim güzel bir kıza gönderdiğim kartta şu fonksiyon vardı:

x = 3 * Cos(t)
y = 3 * [ sin(t) + |cos(t)| ]

- Pi < t <= + Pi

Etkisi gayet olumluydu.

Sevgiler

[DreiMalAli]

Baba çocuğundan 21 sene daha yaşlı. 6 sene sonra babanın yaşı çocuğunun yaşının 5 katı olacak.

Soru:
Anne nerede?
veya
Anne ne yapıyor?
: :twisted:

Sevgiler

[zelzeleci]

Fiozof "Beni asacaksınız." der ve kurtulur.