Sonsuz Turizm ve Müşterileri (Matematikte Sonsuzluk Kavramı) - Sayfa 5

İvan Karamazov · #41 07-05-2011, 01:58

kaanuni´isimli üyeden Alıntı

İlginçlik olsun diye iki fonksiyon ile [0,1] içindeki bütün rasyonel sayıları listelemek istiyorum. Bari düzgün bir katkım olsun:

f: N**2 -> N bir evvelki soruda bulduğumuz fonksiyonlardan biri olsun.

g ise g(a,b) -> 0,abb...
yani mesela b=5 (101) için

a=0: 0,0101101...
a=1: 0,1101101...
a=2: 0,10101101...
vs...

Böyle ise g(f(n)) ile [0,1] içindeki bütün rasyonel sayıların biner represantasyonlarını listeleyebiliriz. Bu listenin dışında [0,1] arası bulduğumuz sayılar irrasyonel olmak zorunda.

çok hoş ve ilginç bir şeye benziyor, fakat tam anlayamadım

g fonksiyonunu anladım... ama f, rasyonel sayıları sayan herhangi bir fonksiyon mu? mesela f(m,n):

İvan Karamazov´isimli üyeden Alıntı

m+n tek ise: (m^2+n^2+2mn-3m-n+2)/2
m+n çift ise: (m^2+n^2+2mn-m-3n+2)/2

eğer öyleyse, f'nin tanım kümesi iki boyutlu, değer kümesi tek boyutlu... g de aynen böyle... ancak g(f(n)) tanımsız bir fonksiyon oluyor böyle olunca. gof diyebilmemiz için f'nin değer kümesi iki boyutlu olmalı. anladığım kadarıyla gof^-1 olmalı... tabi yanlış anlıyor da olabilirim. bu arada iddianın/teoremin özel bir adı var mı?

kaanuni · #42 07-05-2011, 13:00

ters yazmışım, pardon.

f: N -> N**2. Herhangi bir rasyonelleri sayma fonksiyonu.

g'den örnek vereyim isterseniz:

g(0,0) = 0,00... = 0
g(1,1) = 0,11... = 1
g(2,2) = 0,1010... = 2/3
g(2,3) = 0,1011... = 0,11 = 3/4

Yani g'nin a parametresi biner kesir'in tekrarlamayan kısmı (varsa), b ise kesir'in tekrarlayan kısmı.

tabi g bijektiv değil, dolayısı ile tersi alınamaz, çünkü mesela

g(3,3) = 0,1111... = g(1,1)
g(10,10) = 0,10101010... = g(2,2)

Bu bir teorem mi, teorem ise ismi nedir bilmiyorum. Daha evvel bir yerde gördüysem unuttum. Ama gördüğümü de zannetmiyorum çünkü irrasyonel sayıların varlığını kanıtlamanın daha kolay yolları var. Ben bu başlıktan esinlendim.

Bence daha da ilginç olan (belki):

p: N -> N bir sıralama fonksiyonu ise (bijektiv olması gerekiyor mu bilmiyorum)
g(f(p(n)))'nin listesine ulpianın yöntemini uyguladığımızda çıkan sonuçlar.

Merak ettiğim her seferinde farklı bir irrasyonel sayı çıkartmak için p'nin nasıl bir fonksiyon olması gerekteği.

İvan Karamazov · #43 08-05-2011, 11:22

açıklamalarınla daha açık oldu şimdi...

kaanuni´isimli üyeden Alıntı

Bu bir teorem mi, teorem ise ismi nedir bilmiyorum.

teorem değil tam olarak. daha çok sonuç

teoremin aslı: rasyonel her sayı periyotludur ve periyotlu her sayı da rasyonel sayıdır. burada bahsettiğin g de sadece [0,1) aralığındaki rasyonel sayıların periyodunu betimliyor. 0,abbb... yerine c,abbb... dersek daha da genellemiş oluruz, yani: periyot kavramının en genel biçimini görürüz.

kaanuni´isimli üyeden Alıntı

Bence daha da ilginç olan (belki):

p: N -> N bir sıralama fonksiyonu ise (bijektiv olması gerekiyor mu bilmiyorum)
g(f(p(n)))'nin listesine ulpianın yöntemini uyguladığımızda çıkan sonuçlar.

Merak ettiğim her seferinde farklı bir irrasyonel sayı çıkartmak için p'nin nasıl bir fonksiyon olması gerekteği.

g, periyotlu bir sayı olduğu için, g(f(p(n)))'nin irrasyonel sayı vermesi mümkün değil bence. p(n) ne olursa olsun, f(p(n))=(a,b) ve g(f(p(n)))=0,abb... periyotlu sayısıyla karşılaşırız. periyotlu her sayı rasyonel olduğundan g(f(p(n))) hiçbir durumda irrasyonel sayı olmaz.

kaanuni · #44 09-05-2011, 00:30

İvan Karamazov´isimli üyeden Alıntı

teorem değil tam olarak. daha çok sonuç

teoremin aslı: rasyonel her sayı periyotludur ve periyotlu her sayı da rasyonel sayıdır. burada bahsettiğin g de sadece [0,1) aralığındaki rasyonel sayıların periyodunu betimliyor. 0,abbb... yerine c,abbb... dersek daha da genellemiş oluruz, yani: periyot kavramının en genel biçimini görürüz.

Ben de [0,1) yazmıştım önce ama [0,1], çünkü g(1,1)=g((2**n)-1,(2**n)-1)=0,11... = 1. Ayrıca c eklemedim çünkü o zaman yeni üç boyutlu bir f üretmek zorundaydım ama haklısınız tabi, bütün rasyonel sayıları kapsayacak şekilde genişletilebilir. Hatta muhtemelen iki parametre ile tüm rasyonel sayılara da genişletilebilir ama sanırım bu daha da komplike olur.

İvan Karamazov´isimli üyeden Alıntı

g, periyotlu bir sayı olduğu için, g(f(p(n)))'nin irrasyonel sayı vermesi mümkün değil bence. p(n) ne olursa olsun, f(p(n))=(a,b) ve g(f(p(n)))=0,abb... periyotlu sayısıyla karşılaşırız. periyotlu her sayı rasyonel olduğundan g(f(p(n))) hiçbir durumda irrasyonel sayı olmaz.

Haklısınız ama benim yazdığımı tam anlamamışsınız. Biraz formalize edeyim. Ulpian'ın yaptığı kanıttan U diye bir işlem tanımlayalım. g(f(p(N))) ise sırasını korusun.

Ozaman U(g(f(p(N)))) her zaman irrasyonel bir sayı vermek zorunda. Bu durumda p1 ve p2 diye iki fonksiyonumuz olduğu zaman. U1=U(g(f(p1(N))))'in U2=U(g(f(p2(N))))'den farklı olması için hangi koşullar yerine getirilmeli. Kaç tane farklı sonuç veren p fonksiyonu vardır (yanlış anlamayın irrasyonel sayılar sayılabilir demiyorum) diye soruyorum. Cevabını bildiğimden değil, eğlence olsun diye.

Bariz olan p1=p2 ise U1=U2 olduğu. Ayrıca g injektiv olmadığı için p1!=p2 ise bile bazen U1=U2 (sadece zaten aynı olan satırları değiş dokuş eden pler). Belki injektiv bir g bulmak lazım bilmiyorum. Belki mümkün bile değildir.

Ayrıca şöyle bir p dizisi tanımlayabiliyorum:

pn(x) = |_x/n_|

bu p'ler her satırı n kez tekrarlatıyor. Ama bunun herhangi bir işe yarayıp yaramadığını henüz anlayabilmiş değilim.

İvan Karamazov · #45 09-05-2011, 16:37

kaanuni´isimli üyeden Alıntı

Ben de [0,1) yazmıştım önce ama [0,1], çünkü g(1,1)=g((2**n)-1,(2**n)-1)=0,11... = 1. Ayrıca c eklemedim çünkü o zaman yeni üç boyutlu bir f üretmek zorundaydım ama haklısınız tabi, bütün rasyonel sayıları kapsayacak şekilde genişletilebilir. Hatta muhtemelen iki parametre ile tüm rasyonel sayılara da genişletilebilir ama sanırım bu daha da komplike olur.

evet, haklısın. ben de sonradan farkettim ancak edit süresi dolmuştu. sonra da düzeltmeye erindim...

kaanuni´isimli üyeden Alıntı

Ozaman U(g(f(p(N)))) her zaman irrasyonel bir sayı vermek zorunda. Bu durumda p1 ve p2 diye iki fonksiyonumuz olduğu zaman. U1=U(g(f(p1(N))))'in U2=U(g(f(p2(N))))'den farklı olması için hangi koşullar yerine getirilmeli. Kaç tane farklı sonuç veren p fonksiyonu vardır (yanlış anlamayın irrasyonel sayılar sayılabilir demiyorum) diye soruyorum. Cevabını bildiğimden değil, eğlence olsun diye.

neden U'ya ihtiyaç duydumuğuzu anlayamıyorum... farklı p1 ve p2 için; U1 ve U2'nin farklı olması, ancak g(f(p1(N))) ile g(f(p2(N)))'nin farklı olması sayesinde olur. aksi halde U, fonksiyon olmaz zaten. bu, U'nun çok da önemli olmadığı anlamına geliyor aynı zamanda... istediğimiz tarzda p1 ve p2 bulabilmek için de önce g(x,y)=g(z,t) eşitliğinin hangi şartlar altında sağlandığını bulabilmek gerekiyor. bunu bulursak, istediğimiz kadar p1 ve p2 çıkartabiliriz diye düşünüyorum. ben biraz uğraştım ancak bulamadım eşitlik şartlarını açıkçası. g'nin tanımı, verdiğin haliyle düzgün değil. o yüzden işlem yapmaya izin vermiyor bu biçim ama tanımı düzeltince de hayli karışık şeyler çıkıyor. neyse, daha uygun bir vakitte uğraşırım yine. bir şeylere ulaşırsam aktarırım buraya...

Dünyalı_Adam · #46 09-05-2011, 22:48

İvan Karamazov´isimli üyeden Alıntı

Matematik dünyasında sıradan bir gün... Sonsuz Turizm çalışanları için de... Sonsuz Turizm; matematik dünyasının yolcularını, sonsuz sayıda otobüsleriyle, taşıma işlemini yapıyor. Fakat her şirket gibi Sonsuz Turizm de planlı programlı çalışmak zorunda. Bu yüzden bu otobüsleri birbiriyle karıştırmamak için isimlendirmişler: 0 numaralı otobüs, 1 numaralı otobüs, 2 numaralı otobüs, 3 numaralı otobüs... Her bir otobüsün de her biri sadece bir müşteri alabilen sonsuz sayıda koltuğu var. Koltuklar, her otobüste aynı şekilde isimlendirilmişler: 1 numaralı koltuk, 2 numaralı koltuk, 3 numaralı koltuk... Matematik dünyasının yasaları gereği, otobüsler ayakta yolcu taşıyamıyorlar; her müşteriyi bir koltuğa ve her bir koltuğa da en fazla bir müşteri oturtmak zorundalar. Üstelik bu otobüsler hayli teknolojik... Hangi müşteriyi hangi koltuğa oturtacağınıza karar verdikten sonra, süperbilgisayarınıza verileri giriyorsunuz ve yolcular da duraktan alınıp, anında koltuklarına yerleştiriliyor. Sonsuz turizm, bu işi daha kolay yapabilmek için duraklarını da buna göre tasarlamış. Her durak, sonsuz müşteri alabiliyor ve müşteriler duraklarda tek sıra halinde duruyor: 1. sıradaki müşteri, 2. sıradaki müşteri, 3. sıradaki müşteri... Siz süperbilgisayarınıza doğru veriyi girdikten sonra, müşteriler de -sıra numaraları ve kararınıza göre- anında duraktan alınıp koltuklarına ışınlanıyorlar. Otobüslerdeki her koltuğun önünde, müşterilerle iletişime geçebilmenize yarayan ekranlar var. Bu ekranlar vasıtasıyla, süperbilgisayarınızla, n-numaralı koltuktaki müşteriye, hangi mesajı iletmek istiyorsanız iletebiliyorsunuz. İsterseniz tek bir tuşla bütün müşterilere aynı mesajı da iletebiliyorsunuz. Ayrıca bu otobüsler hayli masraflı olduğu için, müşteriler otobüste kaldıkları her bir saat için ücret ödüyorlar. Duraklar arasında saatlerce mesafe olduğundan mecburen böyle bir ücret tanzimi yapılıyor.

Bizim kullanacağımız otobüs: 0 numaralı otobüs... Bugünkü işimizin ilk kısmı: birinci duraktan başlayıp, Gaussya'ya ulaşmak. Biz Gaussya'ya vardığımızda, diğer bütün otobüsler de oraya varmış olacaklar... Sabah erkenden iş başı yapıyoruz. Otobüsümüz bomboş, biniyoruz otobüsümüze ve ilk durağa doğru yol alıyoruz. Sonsuz müşteri bekliyor durakta(karlı bir gün

): 1. müşteri, 2. müşteri, 3. müşteri... Durakta bekleyen müşterileri koltuklara yerleştirmemiz gerekiyor... Bunun için de önce hangi müşteriyi hangi koltuğa yerleştireceğimize karar vermemiz gerekiyor. Bu işin içinden kolayca çıkabilmek için müşterileri koltuklara nasıl yerleştirmeliyiz?

Sonsuz sayıda müşteriyi sonsuz sayıda koltuğa sonsuz değişik yolla yerleştirebiliriz diye düşünüyorum. Yani sonsuz permutasyon olayı